Een plus een is twee: is dit rekenen of is dit taal? In dit geval lijkt het om een puur rekenkundige uitspraak te gaan, maar we gebruiken getalwoorden om ons uit te drukken. De scheiding tussen taal en rekenen is niet zo duidelijk als het lijkt. De heer M., een patiënt met hersenbeschadiging, kan rekentafels foutloos opzeggen maar begrijpt niet waarom 3 x 5 gelijk is aan 15. De Pirahã-indianen uit de Braziliaanse oerwouden kunnen twee grote aantallen wel met elkaar vergelijken, maar boven twee kennen zij geen getallen waar zij dit mee uit zouden kunnen drukken. De prestaties van Japanse kinderen bij eenvoudige rekentests is stukken beter dan die van Engelstalige kinderen.

Deze voorbeelden laten zien dat taal een rol lijkt te spelen bij rekenvaardigheid. Hoe groot is die rol en wat houdt deze precies in? In dit artikel zullen wij proberen deze vraag te beantwoorden.

Een gevoel voor getallen?

Dat niet alle mensen even goed kunnen rekenen is bekend. Al op de basisschool zijn verschillen in handigheid met getallen aanwezig. De algemene opvatting is dat baby’s nog lang niet kunnen rekenen. Ook dieren, bijvoorbeeld apen, staan niet bepaald bekend om hun rekenvaardigheid. Toch zijn er aanwijzingen dat zowel in mensen als in andere zoogdieren een bepaalde rekenkundige basis al vanaf de geboorte aanwezig is. Dit wordt gezien als een taalonafhankelijk systeem dat het mogelijk maakt verschillende aantallen te onderscheiden en te vergelijken. Dit systeem staat bekend als number sense, een begrip dat voor het eerst geïntroduceerd werd door Tobias Dantzig in 1954. Ter illustratie van dit fenomeen gebruikt S. Deheane in zijn boek The Number Sense (1999) een gedachtenexperiment, waarbij aantallen bijgehouden worden met behulp van het waterpeil in een tank. Voor elke eenheid dient men ongeveer dezelfde hoeveelheid water in de tank te schenken, zodat het waterpeil een schatting van de totale hoeveelheid geeft. Uit deze analogie blijkt dat de schatting onpreciezer wordt naarmate het om grotere hoeveelheden gaat. Dit idee is geformaliseerd in de wet van Weber, ontwikkeld door de Duitse fysicus E.H. Weber die wordt gezien als een van de grondleggers van de experimentele psychologie. Deze wet betreft de perceptie van verschillen tussen waarneembare grootheden, bijvoorbeeld verschillen in gewicht, lengte of lichtintensiteit. Webers wet laat zien dat de detecteerbaarheid van een verschil tussen een originele en een nieuwe stimulus afhangt van een relatieve oftewel percentuele afwijking van het origineel.

Laten we nu eens gaan kijken naar de perceptie van verschillen tussen natuurlijke getallen (de positieve gehele getallen 1, 2, 3 etc.). De natuurlijke getallen kunnen hierbij zowel in abstracte als fysische vorm voorgesteld worden, dus als cijfers of als bijvoorbeeld het aantal objecten of geluiden. De wet van Weber impliceert dat de waarneming van verschil in aantal makkelijker wordt naarmate de verschillen groter zijn. Dit wordt het number distance effect genoemd. Het is bijvoorbeeld makkelijker om in te zien dat 29 meer is dan 23 dan dat 24 meer is dan 23. De wet impliceert ook dat het vergelijken gemakkelijker wordt als het om kleine hoeveelheden gaat: het number size effect. Laten we ter verduidelijking het getal 5 met een ander getal vergelijken en de ‘waarnemingsratio’ op tien procent stellen. Dat wil zeggen dat een verschil wordt opgemerkt als het tweede getal met tien procent afwijkt van 5, oftewel wanneer het tweede getal minder is dan 4,5 of meer dan 5,5. De lage gehele getallen zijn dus altijd goed te onderscheiden; de naaste buren van 5 zijn immers 4 en 6. Kijken we echter naar het getal 23, dan zien we dat het tweede getal kleiner dan 20,7 of groter dan 25,3 dient te zijn voordat het verschil duidelijk wordt. 

De wet van Weber is zichtbaar bij rekenende volwassenen, nog niet schoolgaande kinderen en dieren zoals apen, ratten en duiven. Vooral één test wordt vaak gebruikt bij het opsporen van number sense bij mensen en dieren: de violation of expectation-test. Hierbij komt hetgeen dat aan de proefpersonen wordt voorgeschoteld niet overeen met hun verwachtingen. Er wordt een object voor een proefpersoon neergezet en dit object wordt vervolgens verborgen achter een scherm. De proefpersoon ziet dat er een tweede object bij wordt geplaatst. Logischerwijs verwacht hij twee objecten te zien wanneer het scherm verwijderd wordt. Wanneer dit echter niet het geval is (slechts een of drie objecten zijn zichtbaar), zou de proefpersoon duidelijk verbaasd moeten zijn. Deze verbazing wordt gemeten als een langere tijd die de proefpersoon naar de objecten kijkt, in tegenstelling tot een kortere kijktijd bij een logische uitkomst. Zowel zeer jonge kinderen (tot acht maanden) als ook ongetrainde, wilde apen vertoonden inderdaad een langere kijktijd bij een onlogische uitkomst. Dit is een duidelijk aanwijzing voor aanwezigheid van number sense.

Het rekenend brein

Een verder bewijs voor het bestaan van een taalonafhankelijke number sensewordt door de hersenen zelf geleverd. Uit hersenonderzoek blijkt dat de verwerking van getallen gelokaliseerd kan worden in het inferieure intrapariëtale gebied van beide hersenhelften. Dit blijkt zowel uit studies naar personen met hersenbeschadigingen als uit onderzoek met behulp van brain imaging tijdens het uitvoeren van rekenkundige taken.

Een van de personen met hersenbeschadigingen in het genoemde gebied is de in de inleiding genoemde heer M., die grote problemen met rekenen had. Simpele rekenopdrachten als ‘3 – 1’ kon hij niet meer uitvoeren. Hij kon daarnaast niet meer goed bepalen welke van twee getallen groter was en ook niet welk getal tussen twee andere getallen in zat (tussen 3 en 5 ligt…). Dit probleem had hij niet met situaties waar geen getallen in voorkwamen, zoals het alfabet (tussen A en C ligt…). Opvallend was dat M. nog wel verschillende tafels kon opzeggen die hij had geleerd in zijn jeugd, maar dat hij niet meer wist wat ze betekenden. Dit suggereert dat deze informatie tijdens het leerproces in zijn jeugd in taalvorm in het langetermijngeheugen is opgeslagen en via een apart ‘taalcircuit’ in de hersenen kon worden opgeroepen.

Hersenscans van proefpersonen met behulp van fMRI (functional magnetic resonance imaging), genomen tijdens het oplossen van een rekensom, bevestigen de aanwezigheid van een rekenkundig gebied. Bij getalstimuli werd de inferieure pariëtale cortex geactiveerd. Het maakte hierbij niet uit of een getal in letters was geschreven of als symbool werd weergegeven. Deze activering was niet het geval bij andere stimuli die gelijk waren in lengte en frequentie (bijvoorbeeld namen en werkwoorden). Bij rekensommen met grote getallen bleef het gebied langer actief. Wellicht is dit een aanwijzing dat het ‘Webereffect’ tot in de hersenen teruggevolgd kan worden. Immers, bij grote getallen komen de effecten van number size en number distance sterk naar voren en moet er beter en langer gekeken worden om een verschil te ontdekken en tot een interpretatie te komen. Hoewel activatie altijd in beide hersenhelften tegelijk optrad, is het interessant dat de rechterkant bij vermenigvuldigen, en de linkerkant bij het vergelijken van twee getallen sterker werd geactiveerd.

We hebben het hier slechts over de basis van getalverwerking. Zie het als een transistor op een computerprocessor; een klein onderdeel van het geheel. Voor meer geavanceerde bewerkingen is meer nodig. Het voorbeeld van meneer M. liet al zien dat taal en rekenen in de hersenen niet compleet onafhankelijk zijn. Hersenbeschadigingen zijn zelden eenduidig: bij beschadigingen van de inferieure pariëtale regio in de ‘taaldominante’ hersenhelft is het soms het geval dat ook de rekenvaardigheid ernstig wordt aangetast.

De Sapir-Whorfhypothese en de invloed van taal

Rekenvaardigheid bestaat echter niet alleen uit number sense. Cultuur zou wellicht eveneens invloed uit kunnen oefenen op rekenvaardigheid. Een belangrijk begrip in deze context is de Sapir-Whorfhypothese. Dit is een hypothese die in populaire zin vaak wordt weergegeven in de vorm van uitspraken als ‘de taal die je spreekt bepaalt je gedachten’. Deze versie van de hypothese is vrij kort door de bocht. De relatie tussen taal en denken is niet zo direct. Bovenstaande zou bijvoorbeeld impliceren dat kinderen die nog niet kunnen praten ook niet kunnen denken. 

Oorspronkelijk was de hypothese dan ook subtieler. Taalkundigen Edward Sapir en Benjamin Whorf hebben dit nooit als echte hypothese, nooit als een oneliner naar voren gebracht. Het werk van beiden was juist een poging de wetenschapper bewuster te maken van de mogelijke beperkingen voor de wetenschap die taal met zich mee brengt. Het is daarom beter hun idee als volgt te formuleren: taal stelt een zekere beperking aan gedachten en beïnvloedt waarneming van de werkelijkheid. De vocabulaire van een taal kan worden gezien als een weerspiegeling van alle interesses en ideëen in een gemeenschap, dat wil zeggen van de cultuur van die gemeenschap. Het idee is dus dat cultuur beperkingen stelt aan gedachten door middel van de taal die wordt gebruikt binnen die cultuur. Deze oorspronkelijke ‘hypothese’ is dan interessant om toe te passen op rekenvaardigheid. Als we aannemen dat taal een beperking stelt aan gedachten, stelt taal dan ook een beperking aan rekenen? Rekenen maakt tenslotte deel uit van gedachten, van een taal, en van een cultuur. We zullen hier proberen een antwoord op te vinden aan de hand van enkele voorbeelden uit verschillende culturen.

Een, twee … veel

Woorden die staan voor getallen vinden we in het lexicon van de meeste westerse talen, zoals onder andere het Engels en Nederlands. Hoewel er geen talen bekend zijn die helemaal geen getalwoorden bevatten, is er wel een grote variëteit in telsystemen bij verschillende culturen en in verschillende tijdperken. Het ons bekende getalsysteem bijvoorbeeld is tientallig en maakt in de notatie gebruik van ‘plaatswaarde’. Zo staat het getal 421 voor vier maal honderd (102) plus twee maal tien (101) plus een maal een (100). De plaats van een cijfer bepaalt dus de waarde die het toegewezen krijgt. Er zijn ook culturen bekend met een ander getal dan tien als basis, bijvoorbeeld de Babyloniërs. Dit volk leefde ongeveer 4000 jaar geleden in Mesopotamië, het huidige Irak, en maakte gebruik van een zestigtallig stelsel. Een dergelijk stelsel komen we tegenwoordig nog tegen bij het klokkijken. 

Culturen waarvan het getalsysteem op veel fundamentelere wijze afwijkt van ons huidige getalsysteem en het Babylonische systeem bestaan ook. Deze volken, onder andere de Pirahã en Mundurukú uit Brazilië, hebben een taal waar bijna geen telwoorden in voorkomen. De taal van de Mundurukú kent alleen woorden voor de getallen een tot en met vijf. Zodra sprekers van Mundurukú gevraagd wordt hoeveelheden groter dan dit te benoemen is er een grote diversiteit in taalgebruik en worden woorden zoals ‘veel’, ‘weinig’ en ‘een kleine hoeveelheid’ gebruikt. De telwoorden die hun taal wel kent worden nooit in oplopende volgorde opgenoemd, wat duidt op de afwezigheid van een telroutine zoals wij die kennen. Bovendien is er geen sprake van referentie naar exacte getallen. Met uitzondering van de woorden voor een en twee worden alle telwoorden gebruikt binnen een bereik van geschatte hoeveelheden. Hiermee kan ter discussie worden gesteld in hoeverre de overige telwoorden daadwerkelijk telwoorden zijn. Bij de Pirahã is het telsysteem zelfs nog beperkter, de enige telwoorden zijn een, twee en veel. Het meest opvallende is dat eenheid geen bijzondere status in de taal heeft, het woord voor een (hói) wordt namelijk gebruikt als ‘ongeveer een’ of ‘klein’. Zowel uit onderzoek naar de Mundurukú als naar de Pirahã komt het verschil tussen exacte hoeveelheden en geschatte hoeveelheden tevoorschijn. Deze bevolkingsgroepen halen vergelijkbare resultaten als Franstaligen bij het schatten van grote hoeveelheden. Bij exacte getallen maken de indianenstammen echter veel meer fouten.

Dit laatste is weer een mooi voorbeeld van number sense, oftewel het taalonafhankelijke schattingssysteem. Verscheidene onderzoekers die gebruik maken van de sterke vorm van de Saphir-Worfhypothese, dat wil zeggen de onelinerversie ervan, concluderen aan de hand van deze onderzoeken dat bij de onderzochte bevolkingsgroepen geen begrip van exacte hoeveelheden bestaat, doordat hun taal hier geen woorden voor kent. Met andere woorden, de taal stelt volgens hen duidelijk beperkingen aan het rekenkundig vermogen. 

Wij zijn van mening dat deze conclusie te simplistisch is; de talen die deze volkeren spreken zijn dan wel gevormd door hun cultuur, maar is het echt zo dat ze niet weten wat een exact getal is omdat ze er geen woord voor hebben? Waarschijnlijker is dat ze geen woorden voor exacte getallen hebben, omdat ze die niet nodig hebben in hun dagelijks leven. Dit wil allerminst zeggen dat het onmogelijk is om deze mensen met behulp van een getalsysteem uit een andere taal exacte hoeveelheden te leren benoemen. 

Naast deze indianenstammen wordt er ook veel onderzoek gedaan naar verscheidene Aziatische talen in verband met rekenkunde. Zoals in de inleiding werd vermeld, excelleren Japanse en Chinese kinderen bij eenvoudige rekentests. Is dit een gevolg van de taal die zij spreken? 

Zijn Aziaten slimmer dan Amerikanen?

De benoeming van getallen binnen de westerse en Aziatische cultuur is zeer verschillend. Waar westerlingen tot tien tellen en verder gaan met elf, twaalf en dertien – woorden die in taalkundig opzicht niet doen vermoeden dat ze de opvolgers zijn van tien – gaan Aziaten juist door met tien-een, tien-twee en tien-drie. Opvallend is in dit opzicht dat Aziatische kinderen veelal beter zijn in rekenen dan hun westerse leeftijdsgenoten. Het is mogelijk dat dit misschien door hun taal en hun manier om telwoorden te benoemen komt. Hier zijn dan ook verschillende onderzoeken naar gedaan.

De test die in dit verband veel gebruikt wordt is de zogenaamde blokkentest, waarbij kinderen wordt gevraagd een geschreven getal uit te drukken in blokken. Elk blok stelt hierbij het aantal een voor. Er zijn zowel losse blokken als grotere blokken beschikbaar, die bestaan uit tien aan elkaar gelijmde kleine blokjes. De Aziaten blijken bij grote getallen veel meer de blokken van tien te gebruiken dan de Engelse kinderen. Dit zou duiden op een beter begrip van het tientallig stelsel. In eerste instantie werd dit toegewezen aan de Aziatische taal, waarin de tientallige structuur van het tellen duidelijker naar voren komt. Vervolgonderzoek wees echter uit dat wanneer de Engelse kinderen eenmaal werd voorgedaan dat je een getal ook met tientallen kon vormen, zij deze blokken bijna net zo vaak gingen gebruiken als de Aziaten. Toch blijft er wel enig verschil tussen de prestatie van de Engelse en Aziatische kinderen, in het voordeel van de laatste groep. Een verklaring hiervoor kan bijvoorbeeld worden gezocht in lesmethoden op school en in culturele mentaliteit. In de Aziatische cultuur wordt bij het leren van wiskunde meer de nadruk gelegd op de inzet en eigen verdienste, terwijl in de westerse maatschappij rekenkundige vaardigheid gezien wordt als talent.

Conclusie

Het is moeilijk om de invloed van taal op rekenkundige vaardigheid te isoleren. Duidelijk is geworden dat number sense een taalonafhankelijk systeem is dat een rol speelt bij het verwerven van rekenkundige vaardigheid. Ook is het duidelijk dat geavanceerdere vaardigheden verschillen per cultuur. Zo levert het strenge Japanse stramien ‘levende rekenmachientjes’, terwijl de prestaties van Engelstalige kinderen vooral lijden onder de de opvatting dat rekenen een talent is. In de culturen van de Pirahã en Mundurukú komt echter niet eens een telroutine voor. Zoals we schreven levert dit volgens sommige onderzoekers een bewijs voor de Sapir-Whorfhypothese.

Men moet zich echter realiseren dat als de Sapir-Whorf hypothese als zodanig ‘bewezen’ zou zijn, dit onderzoek als gevolg daarvan eigenlijk in twijfel zou moeten worden getrokken. Immers, zou de hypothese ‘waar’ zijn, dan moet zij voor iedereen die taal gebruikt gelden. En in hoeverre zijn de gedachten van die onderzoekers dan niet beïnvloed en beperkt door hun eigen taal? Het is niet voor niets dat de hypothese puur filosofisch bedoeld was.

Wat naast alle dwalingen langs de Sapir-Whorfhypothese het eigenlijke onderzoek bemoeilijkt, is het feit dat mensen het onderzoeksobject zijn. Een experiment opzetten waarin zoveel mogelijk parameters gecontroleerd zijn, zal al gauw ethisch onverantwoord worden bevonden. Wie dwingt er bijvoorbeeld een kind de eerste twintig jaar van zijn leven in een van de buitenwereld afgesloten ruimte op te groeien, enkel om te kijken naar de ontwikkeling van zijn reken- en taalkundig inzicht? Alle onderzoeken die wij hebben besproken gaan dan ook over reeds bestaande situaties. Een patiënt met hersenletsel, die net de ‘goede’ beschadigingen heeft opgelopen. De Aziaten die gelukkig een handiger telsysteem hebben bedacht, maar helaas ook een andere cultuur met zich meebrengen. En tot slot bevolkingsgroepen in de Braziliaanse oerwouden die geen echte rekenwoorden kennen. Geen enkele situatie is optimaal om de oorzaken van verschillen in rekenvaardigheid te isoleren. Er zullen altijd ambiguïteiten zijn. We zullen het met beperkte data moeten doen en proberen de experimenten zo vernuftig mogelijk te ontwerpen. Een positieve wending voor het onderzoek is de ontwikkeling van cognitieve neurowetenschap. Deze biedt nieuwe perspectieven door de komst van nieuwe technieken, zoals de mogelijkheid van het scannen van de hersenen. Al met al zijn er veel vragen te stellen, en hopelijk geeft verder onderzoek ons meer inzicht in de relatie tussen rekenen en taal.