In 1884 beschreef Edwin Abbott Abbott hoe A. Square, een vierkant en bewoner van een platte, tweedimensionale wereld, het bestaan van drie dimensies ontdekt. A. Square, de verteller in het boek van Abott, is wiskundige in een wereld die hij voor ons, zijn gelukkige lezer, Flatland noemt. Hij vraagt ons zijn wereld voor te stellen als een oneindig vel papier waarop allerlei geometrische figuren voortbewegen. Natuurlijk is dat heel anders dan hoe de flatlanders hun wereld ervaren: wie in het vlak leeft ziet alleen een lijn van licht en donker. A. Square beschrijft zijn memoires vanuit de gevangenis. Hij is opgepakt voor het verkondigen van een absurde boodschap: er bestaat een driedimensionale wereld, een Spaceland. Wij weten natuurlijk dat A. Square gelijk heeft, maar de heerschappij van Flatland ziet het als hoogverraad om dat te zeggen.

Het vooruitstrevende van A. Square is niet het verkondigen van het bestaan van Spaceland. Daar is hij immers geweest en wij weten dat het bestaat omdat we erin wonen. Nee, het opmerkelijke is dat A. Square (en daarmee Abbott) een stap verder durft te gaan. Waarom zouden er niet vier, vijf, of nog meer dimensies zijn? Het heeft de natuurkunde nog veertig jaar gekost om deze stap ook te zetten.

Abbott’s Flatland: A Romance of Many Dimensions, ook wel afgekort tot Flatland, is geschreven in een tijd dat men dacht dat de natuurkunde af was. Zoals we nu weten was dat verre van waar. De twee pijlers van de moderne natuurkunde, de relativiteitstheorie en de kwantummechanica, moesten zelfs nog uitgevonden worden. Het wereldbeeld uit die tijd stamt af van Newton: alles in de natuur vindt plaats in een statische ruimte van drie dimensies en de tijd die onveranderlijk schrijdt. De evolutie van de natuur wordt beschreven door de wetten van Newton, deterministisch als het uurwerk van een klok.

Ruim een eeuw na Flatland is dit beeld volledig verdwenen. Vanuit de relativiteitstheorie van Einstein begrijpen we dat ruimte en tijd samen een dynamisch geheel vormen: ruimtetijd. Deze ruimtetijd vervormt onder invloed van massa, en de kromming van ruimtetijd is wat wij als zwaartekracht ervaren. Ruimte en tijd zijn van passieve toeschouwers verworden tot actieve participanten in de natuur. Een begrip als tijdsevolutie is niet eens goed meer te definiëren. Daarbij begrijpen we tegenwoordig dat de fundamentele wetten niet deterministisch zijn. De kwantummechanica laat ons slechts zien hoe we de kans op een bepaalde uitkomst moeten voorspellen. Het exact bepalen van bijvoorbeeld de snelheid én positie van een deeltje is onmogelijk.

In dit drastisch veranderde wereldbeeld is zelfs het aantal dimensies waarin we leven niet veilig voor natuurkundige bespiegeling. Zo voorspelt de snaartheorie, een theorie die de brug probeert te slaan tussen de relativiteitstheorie en de kwantummechanica, wel zes extra, voor ons onzichtbare, ruimtelijke dimensies. Deze theorie zegt dus dat wij zelf een soort flatlanders zijn die op de een of andere manier blind zijn voor het grotere geheel. Hoewel, blind… Wellicht dat de nieuw geopende deeltjesversneller van CERN ons de ogen opent. In dit artikel een korte geschiedenis van (extra) dimensies in de natuurkunde en hoe die wellicht binnenkort te meten zijn.

Ruimtetijd

Het was de speciale relativiteitstheorie van Albert Einstein en het inzicht van Hermann Minkowski die voor het eerst duidelijk maakte dat ruimte en tijd niet los van elkaar te zien zijn. Einstein had in 1905 laten zien dat afstand en tijdsduur verschillen voor twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen. Hermann Minkowski liet zien dat dit te verklaren valt door ruimte en tijd te bundelen in ruimtetijd. De afstand in ruimtetijd valt dan te splitsen in een afstand in de tijd (tijdsduur) en een afstand in de ruimte. De ruimtetijdsafstand is fundamenteel en niet ambigu. Twee waarnemers zullen de ruimtetijd echter ieder op een andere manier verdelen in ruimte en tijd. Daarom valt de afstand in ruimtetijd voor de een op een andere manier uit elkaar, in tijdsduur en ruimtelijke afstand, dan voor de ander.

Laten we, om een beeld bij ruimtetijd te krijgen, kijken hoe ruimtetijd eruit ziet voor flatlanders. We kunnen dan ons driedimensionaal voorstellingsvermogen gebruiken om ruimtetijd ‘voor ons te zien’. De ruimtetijd van de tweedimensionale wereld waarin de flatlanders leven, kan als volgt worden ingebeeld: stel dat Flatland zich uitstrekt als een horizontaal vlak. We bekijken Flatland op een bepaald tijdstip en de tijd staat even stil. Als we nu de tijd aanzetten, laten we Flatland langzaam omhoog bewegen: zeg voor elke seconde een centimeter. Elk ‘moment’ levert als het ware een nieuw Flatland vlak boven het vorige op. Als we nu al deze ‘Flatlands’ bewaren, zien we een driedimensionale evolutie van Flatland ontstaan, alsof er allemaal filmbeeldjes boven elkaar zijn geplakt. Dit driedimensionale object is de Flatland-ruimtetijd. Elke horizontale doorsnede van deze ruimtetijd stelt dus een moment in Flatland voor. Alles wat er op een dag in Flatland gebeurt staat nu beschreven in een dikke plak ruimtetijd van 86.400 cm. We kunnen de bewegingen van bewoners door de tijd volgen als banen in de ruimtetijd.

De bewegingen van een puntdeeltje in Flatland komt overeen met een lijn in de ruimtetijd. Dit wordt wel een wereldlijn genoemd. Omdat we twee ruimtedimensies hebben verenigd met één tijdsdimensie, wordt de Flatland-ruimtetijd (2+1)-dimensionaal genoemd. Onze ruimtetijd zou dus (3+1)-dimensionaal zijn.

Minkowski zag in dat als we tijd als extra dimensie toevoegen aan de ruimte en zo ruimte en tijd bundelen tot ruimtetijd, Einsteins resultaten konden worden verklaard, mits er werd aangenomen dat afstanden in de tijdsrichting negatief zijn. Anders gezegd: Minkowski plaatste de speciale relativiteitstheorie binnen het domein van de niet-euclidische meetkunde. Dit zou later van groot belang zijn voor de formulering van de algemene relativiteitstheorie van Einstein. De ‘platte’ ruimtetijd, zoals boven beschreven, heet tegenwoordig de Minkowskiruimte.

In 1916 publiceerde Albert Einstein de algemene relativiteitstheorie. Op fenomenale wijze beschrijft deze theorie de zwaartekracht in termen van de meetkunde van ruimtetijd. Niet langer zijn ruimte en tijd slechts de arena van de natuur. Niet langer onttrekken ruimte en tijd zich aan de interactie, dynamiek en veranderlijkheid. Ruimtetijd wordt constant beïnvloed door materie en weet precies te beschrijven hoe deze dynamische interactie verloopt. Door een ingewikkelde koppeling ontstaat er kromming in de ruimtetijd onder invloed van massa en energie. De zwaartekracht is niets anders dan de invloed van die kromming op de banen van planeten, mensen en mieren door de ruimtetijd.

Kaluza-Klein

Gunnar Nordström, een Finse theoretisch fysicus, werkte rond dezelfde tijd als Einstein aan een meetkundige theorie van de zwaartekracht. Hij ontdekte een vreemde eigenschap aan zijn theorie: als hij zijn vergelijkingen oploste voor een (4+1)-dimensionale ruimtetijd (dus met één ruimtelijke dimensie meer dan die van ons) kon hij in (3+1)-dimensies zijn zwaartekrachttheorie afleiden, maar daarnaast gebeurde iets vreemds; de vergelijkingen die hij overhield uit de extra dimensie kon hij omschrijven naar de vergelijkingen van Maxwell voor elektromagnetisme. Hij publiceerde zijn resultaat in 1914, maar zijn werk kreeg niet veel aandacht en werd vergeten.

Zoals zo vaak met goede ideeën, werd Nordströms idee opnieuw bedacht. In 1919 probeerde de toen redelijk onbekende wiskundige Theodor Kaluza Einsteins vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie op te lossen in (4+1) dimensies. Ook hier kwam de aanvankelijke zwaartekrachtstheorie eruit, plus de theorie van elektromagnetisme. Hij schreef Einstein een brief met zijn bevindingen. Deze moedigde hem aan te publiceren, wat in 1921 gebeurde.

Maar wat is de betekenis van deze extra dimensie? Is het slechts een wiskundige curiositeit dat het toevoegen van een extra dimensie aan de theorie van zwaartekracht elektromagnetisme oplevert, of kan deze dimensie echt zijn? In het laatste geval rijst natuurlijk de vraag waarom wij geen vier dimensies waarnemen. Maar het is hoe dan ook een opmerkelijk resultaat: twee van de belangrijkste natuurkundige theorieën van dat moment werden verenigd tot één!

In 1926 deed Oskar Klein een poging om de extra dimensie te duiden: hij stelde voor dat de extra dimensie opgerold is tot een cirkel met een straal die zo klein is dat wij geen waarnemingen kunnen doen die het bestaan ervan verraden. Op die manier kan de extra dimensie wel fysisch bestaan maar niet waarneembaar voor ons zijn. Weliswaar kunnen we zo (met wat flexibiliteit) accepteren dat een extra dimensie kan bestaan, maar een aanwijzing dat dit echt zo is, of een verklaring van waarom dit zo is, wordt niet gegeven.

De (4+1)-dimensionale versie van de algemene relativiteitstheorie met opgerolde dimensie, en generalisaties daarvan, heten tegenwoordig de Kaluza-Klein-theorie.

Snaartheorie

Recentelijk kreeg de natuurkunde hernieuwde interesse in extra, opgerolde dimensies. Deze staan centraal in de snaartheorie.

De snaartheorie is geboren uit een specifiek probleem: de twee bouwstenen van de moderne natuurkunde, de kwantumtheorie en de algemene relativiteitstheorie, zijn uiteindelijk incompatibel. De één werkt verbluffend goed om de banen van planeten, de evolutie van het universum en de meeste processen op grote afstandsschalen te begrijpen, de andere werkt uitstekend voor atomen, elementaire deeltjes en processen op kleine afstandsschalen. Probeert men echter de vergelijkingen van beide theorieën te combineren, dan geven berekeningen onzinnige antwoorden: oneindige kansen.

De snaartheorie is een poging om dit probleem te verhelpen. Dat wil zeggen dat deze volgens velen de potentie heeft om kwantummechanica met zwaartekracht te verenigen. In deze theorie worden elementaire deeltjes, voorheen altijd beschreven als een mathematische punt, voorgesteld door minuscule trillende snaartjes. De problemen tussen kwantummechanica en de algemene relativiteitstheorie doen zich pas voor als men te veel inzoomt op een klein stukje ruimtetijd. Het vervangen van de puntjes door snaartjes blijkt dit probleem te omzeilen. De ruimtelijke uitgestrektheid van de snaartjes lost de problemen op omdat de snaartjes als het ware ‘blind’ zijn voor wat zich op nog kleinere schaal afspeelt. Echter, de mathematische details van deze theorie vereisen dat de snaartjes hun tonen spelen in nog zes of zeven extra dimensies. De snaartheorie is niet consistent in (3+1)-dimensies, maar kan slechts leven in een (9+1)-dimensionale ruimtetijd. De snaartheorie voorspelt dus het bestaan van zes extra dimensies.

Grote extra dimensies

Tot voor kort werd aangenomen dat als de snaartheorie de natuur beschrijft, de zes extra dimensies zo klein zouden zijn opgerold dat ze niet experimenteel ontdekt zouden kunnen worden, net zoals Oscar Klein eerder bij de extra dimensie van Kaluza had voorgesteld. Dit bood genoeg ruimte om de theorie verder te ontwikkelen, en niet op voorhand af te schrijven als ‘niet fysisch’ wegens de extra dimensies. Recent is er echter een interessante tweede mogelijkheid geopperd.

Er bestaan variaties op de snaartheorie, waarbij naast snaren ook trillende membranen, kortweg branen, worden bekeken. Deze zijn voor te stellen als trommelvellen, of een soort driedimensionale klodder. (Aangezien de snaartheoretici negen dimensies tot hun beschikking hebben horen hier strikt genomen ook vier-, vijf- en hoger dimensionale klodders bij). Een nieuw idee uit deze hoek is dat ons universum zelf zo’n membraan is: een grote driedimensionale klodder waar wij inzitten. Het zou dan kunnen dat we de andere dimensies niet zien omdat toevallig alle materie en alle deeltjes die wij gebruiken om waar te nemen, op de een of andere manier beperkt zijn tot die klodder. Hun bewegingsvrijheid reikt juist niet in alle negen dimensies, maar beperkt zich tot drie. Ze zijn gebonden aan het driedimensionale membraan van ons universum. Dan zouden de dimensies in principe groot genoeg kunnen zijn om waar te nemen, maar beschikken we gewoon niet over de juiste middelen om dit te doen. Althans nog niet…

Nieuwe dimensies zien

Er zijn vier fundamentele krachten: de elektromagnetische kracht, de sterke kernkracht, de zwakke kernkracht en de zwaartekracht. Als we een meting doen benutten we altijd één of meerdere van deze krachten. Als we bijvoorbeeld onszelf wegen is het de zwaartekracht die ons naar de aarde trekt, terwijl de elektromagnetische kracht zorgt voor een tegendruk van de weegschaal en via een aantal stappen ook het wijzertje verplaatst. De elektromagnetische kracht gaat schuil achter licht, elektriciteit en magnetisme. Als we bedenken dat dit bijvoorbeeld ook de kracht is die de atomen van onze hand voelen als tegendruk als we tegen een tafel duwen, en tevens de kracht die zorgt voor de ontvangst van radiosignalen in een antenne, of licht in onze ogen, wordt duidelijk hoeveel er met deze kracht wordt waargenomen. De kernkrachten spelen eigenlijk alleen een rol in de kernen van atomen.

Het vreemde is dat de zwaartekracht veel en veel zwakker is dan de andere drie krachten. Dat kun je makkelijk zien door een magneet met een andere magneet op te tillen: de zwaartekracht speelt hierbij geen rol.

Het bestaan van grote extra dimensies zou een verklaring kunnen bieden voor deze discrepantie. Het idee is dat de zwaartekracht wél in deze extra dimensies werkt, terwijl de andere krachten dit niet doen. De energie van de zwaartekracht lekt als het ware weg naar de andere dimensies . Als die dimensies nu van redelijke grootte zijn is het in theorie mogelijk de zwaartekracht te gebruiken om deze extra dimensies te ‘zien’.

Extra dimensies waarnemen met de zwaartekracht kan door het testen van de inverse square law: de wet van Newton die zegt dat de zwaartekracht afneemt met de inverse van de afstand in het kwadraat. Als er meer dan drie ruimtedimensies zijn, zal de zwaartekracht op schalen vergelijkbaar met de grootte van deze dimensies als het ware weglekken. Het verband tussen afstand en kracht is dan niet meer de inverse square law, maar de zwaartekracht neemt dan af met bijvoorbeeld de inverse van de afstand tot de derde, of vierde macht (één minder dan het aantal ruimtedimensies). Huidige experimenten leggen de grootte van extra dimensies in elk geval een bovengrens op van ongeveer de helft van de dikte van een mensenhaar (44 micrometer).

LHC

Er zijn plannen om in de Large Hadron Collidor, de nieuwe deeltjesversneller die net is geopend (en voorlopig weer gesloten) bij CERN, in de buurt van Genève, opnieuw de zwaartekracht te testen. Wellicht dat hier de aanwezigheid van extra dimensies experimenteel wordt bevestigd. In dat geval hoop ik niet dat de wetenschappers van CERN, net als A. Square, worden verketterd.