Voor een wiskundige roept het begrip ‘het onbekende’ allerlei associaties op. In dit essay wil ik een aantal van dergelijke associaties benoemen en een klein beetje verkennen.

De meest voor de hand liggende, en meest bekende, betekenis van ‘het onbekende’ is te vinden rond het oplossen van een wiskundige vergelijking. Dat is een mooi beginpunt voor deze beschouwing, want zelfs het oplossen van de allereenvoudigste vergelijkingen levert al voldoende filosofische stof tot nadenken op. Nadat ik daar het een en ander over heb gezegd wil ik echter toch ook wat dieper graven naar andere invullingen van het onbekende in de wiskunde. In de wiskunde worden bepaalde concepten gebruikt waarvan je zou kunnen beweren dat mensen er onbekend mee zijn, omdat ze niet lijken te corresponderen met wat er in de echte wereld te zien is. Ik doel hier op dingen als ‘imaginaire’ getallen, of het begrip ‘oneindig’. Hoe het grote onbekende ons helpt of zelfs noodzakelijk lijkt – om de wereld om ons heen te begrijpen, is welhaast een van de grootste mysteries uit de filosofie van de wiskunde. Het feit dat wiskundige begrippen abstract kunnen zijn, onderscheidt de wiskunde van alle andere disciplines, en maakt dat we niet alleen spreken over het onbekend zijn van antwoorden op bepaalde vragen, maar ook en vooral dat het gereedschap dat we voor het beantwoorden van een vraag nodig hebben, als het ware in het leven geroepen wordt door de wiskundige zelf. Tenslotte zal ik nog iets zeggen over de manier waarop wiskundigen het onbekende zelf modelleren en behandelen.

Maar laten we eenvoudig beginnen, en kijken naar een bijna alledaagse vergelijking als

2x+7=13

De x is de onbekende, en de bedoeling is dat we gaan uitzoeken voor welke x deze vergelijking waar is. In dit geval is dat niet zo moeilijk, de onbekende x is zonder moeite te identificeren als x=3. Maar is het echt wel zo makkelijk? In het begin was x onbekend, aan het eind bekend. Is de x in de vergelijking nu bekend of onbekend? Of verandert de x van status ergens in het proces? Voordat we de vergelijking gaan oplossen weten we niet welke waarde x uiteindelijk zal hebben, we kunnen niet anders dan x als onbekend beschouwen, en we moeten er zelfs rekening mee houden dat er helemaal geen oplossing gevonden kan worden. Maar nadat we de vergelijking hebben opgelost, is x veranderd in een bekende! Waar of wanneer is dat precies gebeurd? Op welk moment vond de overgang van onbekend naar bekend plaats? Zon moment is niet aan te wijzen; x mag dan voor ons pas tijdens de laatste stap van het oplossingsproces bekend geworden zijn, in de oorspronkelijke vergelijking was x eigenlijk impliciet ook al gelijk aan 3 omdat er geen ander getal voldoet aan de vergelijking.

Dit is een tamelijk verwarrend punt in de filosofie van de wiskunde. Uiteindelijk zullen we moeten accepteren dat de x in de vergelijking en in het daarbij horende proces van oplossen, zich zowel als onbekende als bekende manifesteert, en wel tegelijkertijd! In de literatuur wordt dit weleens de ambiguteit van de wiskunde genoemd; twee elkaar uitsluitende interpretaties (in dit geval ‘bekend’ versus ‘onbekend’) waartussen geen keuze gemaakt kan worden, en welke allebei nodig zijn om de wiskunde echt te doorgronden. Me dunkt, geen wonder dat veel studenten en scholieren grote moeite hebben met dit fenomeen! Iedereen kan regeltjes leren over hoe je een vergelijking oplost, maar werkelijk begrip over wat het betekent om de x als onbekend te zien, en hoe zich dat verhoudt tot de uiteindelijke oplossing, is een stuk lastiger. De dualiteit die ik hier probeer uiteen te zetten doet zich, in verschillende vermommingen en gedaantes, voor in de gehele wiskunde, maar het gaat veel te ver om hier nu op in te gaan.

Een heel ander voorbeeld van het onbekende in de wiskunde vormen de getallen. We zijn allemaal vertrouwd met de getallen 1, 2, 3, die we natuurlijke getallen noemen. Deze getallen lijken ook goed te corresponderen met de wereld om ons heen, en hebben een heldere interpretatie: ze stellen aantallen voor. Kleine kinderen leren al vroeg wat het betekent dat er van een bepaald voorwerp bijvoorbeeld twee zijn. Voor negatieve getallen, -1, -2, -3, is dat al wat minder duidelijk, maar de meesten van ons zullen zich toch wel enigszins hiermee vertrouwd weten. In de Griekse oudheid dacht men dat alle getallen van de vorm a/b waren, met a en b geheel; breuken dus. Groot was de consternatie en langdurig de crisis, toen men ontdekte (hoe dat gebeurde is overigens een verhaal apart) dat in een vierkant met zijde gelijk aan 1, de diagonaal een lengte had die niet als een breuk te schrijven was (in onze notatie is deze lengte gelijk aan 2, de wortel uit 2). Men kon zich op geen enkele manier een voorstelling maken van een getal dat niet als a/b te schrijven zou zijn, en het duurde erg lang voordat men dit probleem als het ware naar een hoger plan tilde, en de zogenaamde reële getallen definieerde. Ik kan niet genoeg benadrukken hoe groot deze revolutie was. Een stap in het grote onbekende, gezet door zeer creatieve geesten. De vraag die vaak gesteld wordt, is of op deze manier de reële getallen ontdekt of gemaakt werden. Het antwoord op die vraag is niet eenduidig te geven en hangt af van de context waarin de vraag gesteld wordt. Maar wat we zonder meer kunnen vaststellen is dat met de introductie van de reële getallen, een grote stap in het onbekende werd gezet.

Maar goed, hoe revolutionair deze stap ook was, de meesten van ons kunnen zich bij reële getallen zeker wel iets voorstellen, bijvoorbeeld als een punt op een getallenlijn: elk punt op de lijn correspondeert met precies één reëel getal en vice versa. In die zin zou je kunnen stellen dat de introductie van de reële getallen begrijpelijk is. Maar het verhaal houdt hier niet op. De vergelijking x¹ = -1 bijvoorbeeld heeft, zo leren we op school, geen oplossing, zelfs niet als we alle reële getallen toelaten. De situatie is niet heel anders dan bij de oude Grieken: binnen de getallen die voor hen acceptabel (of bekend!) waren, was er geen getal dat de lengte van de diagonaal kon uitdrukken. En nu is er binnen de getallen die wij accepteren (de reële getallen) geen getal dat de oplossing van die vergelijking kan representeren.

Maar net als bij de Grieken, kunnen we als het ware een getal bedenken dat we simpelweg de oplossing van deze vergelijking noemen! Dit getal wordt aangeduid met het symbool i, als afkorting van ‘imaginair’. En wat blijkt: de introductie van deze i is een gouden greep. Imaginaire getallen vormen nu een onmisbaar onderdeel van de wiskunde, en worden toegepast in vele gebieden waaronder zeer nadrukkelijk de natuurkunde. Tegelijkertijd zeurt er iets: bestaat deze i eigenlijk wel? Hoe kan een product van de menselijke geest zo nuttig zijn in het begrijpen van de wereld om ons heen? Het is misschien goed om er op te wijzen dat imaginaire getallen eigenlijk helemaal niet zo principieel verschillen van reële getallen. De wereld om ons heen geeft net zo min aanleiding voor het ‘bestaan’ van reële getallen, als voor het bestaan van imaginaire getallen. Het prachtige van de wiskunde is niet zozeer dat bepaalde soorten getallen onbekend zijn, maar dat ze als het ware door de wiskundige in het leven geroepen worden. Door een ‘hoger’ perspectief te bedenken en te betreden kunnen we een probleem binnen het ‘lagere’ perspectief oplossen. Er is geen reden om te denken dat de imaginaire getallen de laatste stap zijn dat zijn ze dan ook niet. ‘Onbekend zijn’ in de wiskunde slaat dus vaak niet zozeer op de vraag of het antwoord op een bepaalde vraag ja of nee is, maar op het feit dat we geen idee hebben welke ‘objecten’ in de toekomst in het leven geroepen zullen worden als hulpmiddel bij vragen die ontstaan in het wiskundig onderzoek, en op het feit dat die objecten in het geheel geen binding met de waarneembare wereld hoeven te hebben.

Een ander notoir ingewikkeld concept is het concept van ‘oneindig’. Wij mensen hebben, net zomin als met imaginaire getallen, geen ervaring met het begrip oneindig. Het universum is, voor zover we weten, eindig, en het aantal elementaire deeltjes in het heelal is dat ook. Waarom speelt oneindig dan zon belangrijke rol in de wiskunde? In andere publicaties heb ik betoogd (en velen met mij) dat de wiskunde zich vooral ontwikkelt doordat bepaalde vragen opkwamen vanuit andere wetenschapsgebieden of maatschappelijke vraagstukken, en dat maakt het mysterie van oneindig des te groter. Immers, oneindig behoort niet tot onze ervaringswereld, dus moet het op een andere manier aan ons brein ontsproten zijn. Het is vreemd je te realiseren dat een wiskundige zonder enig probleem werkt met het begrip oneindig, terwijl het tegelijkertijd zo is dat dit begrip op geen enkele manier correspondeert met welk ervaringsfeit in de wereld dan ook. Het wordt nog veel gekker, als je weet dat wiskundigen verschillende ‘soorten’ oneindig onderscheiden, waarbij sommige ‘oneindiger’ zijn dan andere Het werken met oneindig is voor wiskundigen zeer vruchtbaar, maar het is lang niet altijd duidelijk hoe het mogelijk is dat we, door te werken met oneindig, ook resultaten kunnen vinden die van belang zijn voor onze eigen eindige wereld.

Ten slotte wil ik ook nog een heel andere wiskundige invulling van het begrip ‘onbekend’ noemen. Wiskundigen zijn soms in staat om de onbekendheid van een subject over een bepaald onderwerp te definiëren en te kwantificeren, en om regels te ontwerpen waarmee we met onzekerheid kunnen redeneren. Dit gebeurt met name in de kansrekening, mijn eigen vakgebied. Het is erg lastig om logisch te redeneren onder de aanwezigheid van onzekerheid en onbekendheid. Als ik over bepaalde aannames onzeker ben, in hoeverre werkt die onzekerheid dan door in mijn conclusies? Dit is een buitengewoon belangrijk probleem, met vele toepassingen, bijvoorbeeld in de rechtspraak, en met vele verrassende wendingen. Ik noem er n, niet in detail, maar om aan te geven hoe tegenintuïtief dingen hier soms kunnen zijn.

Stel er is een zedenmisdrijf gepleegd. Er is een verdachte, maar zekerheid over zijn schuld is er niet. Stel vervolgens dat de rechter (of de jury in bijvoorbeeld de VS) besluit tot vrijspraak. Na de vrijspraak wordt de rechter of jury geconfronteerd met de mededeling dat de verdachte eerder is veroordeeld voor een zedenmisdrijf. Een intuïtieve reactie zou zijn dat de jury nu denkt dat de vrijspraak wellicht onjuist was. Het verrassende is dat onder bepaalde, redelijke, omstandigheden, het nieuws van een eerdere veroordeling juist de kans vergroot dat de vrijspraak juist was. Het lijkt dus niet zo makkelijk om op een goede manier om te gaan met het onbekende, en gelukkig is er de wiskunde om behulpzaam te zijn in dergelijke gevallen.

De verschillende associaties die ik bespreek verdienen allemaal veel meer aandacht – hopelijk heb ik in dit korte bestek toch iets van het onbekende in de wiskunde kunnen laten zien.