Een goed begin is het halve werk

Een goed begin is het halve werk

Stel je eens voor: je bent samen met een groepje vrienden als het gesprek ineens over het vak wiskunde gaat. Hoe reageer je? Denk je bij jezelf: ‘Nee, wiskunde is niets voor mij, ik ben er nooit goed in geweest en waar heb je het eigenlijk voor nodig?’ Of misschien: ‘Ja, dat vond ik een leuk vak op school, daar had ik best verder in willen gaan?’ Het vak wiskunde is vaak een beladen onderwerp. O wee als jij nou net die ene bent die sommen maken en figuren tekenen leuk vindt terwijl de rest van de groep er een hekel aan heeft en het zoveel mogelijk heeft ontweken.

Vooropgesteld moet worden dat er genoeg mensen zijn die wiskunde wel leuk vinden. Maar juist omdat dit een minderheid betreft, is het interessant om na te gaan waarom dat zo is. Waarom vinden veel mensen wiskunde moeilijk? In dit artikel richt ik me tot het prille begin, een begin waarin jonge kinderen uitgedaagd worden om hun intuïtieve voorschoolse kennis te integreren met meer formele rekenlessen. Hoe kunnen rekenlessen aangepast worden, zodat jonge kinderen het plezier dat ze hebben in het spelen met getallen en het onderzoeken van de ruimtes om hen heen, behouden en toepassen op hogere leerniveaus? Kunnen we, door meer te weten over hoe we leren rekenen, tot een betere invulling van lessen komen zodat rekenproblemen vroeg opgevangen en mogelijk voorkomen kunnen worden?

Dit artikel zal een overzicht geven van onderzoek dat gedaan is en uitgevoerd zal worden naar de manier waarop jonge kinderen leren rekenen. Eerst zal gekeken worden naar het onderscheid tussen getalbegrip en ruimtelijk inzicht. Dan bespreek ik een aantal opmerkelijke resultaten van cognitief psychologisch onderzoek bij baby’s, gevolgd door onderzoek naar sekseverschillen en naar kinderen met rekenproblemen. Vervolgens zal gekeken worden naar resultaten van onderzoek met beeldvormingstechnieken. Het combineren van cognitief psychologisch en neuropsychologisch onderzoek op dit gebied is de uitdaging van het Mathematics Education and Neurosciences (MENS) project dat in opdracht van het Freudenthal Instituut en het Helmholtz Instituut in Utrecht onlangs gestart is. Dit promotieonderzoek zal aan het eind van het artikel toegelicht worden. 

Getalbegrip en ruimtelijk inzicht

Het onderwerp wiskunde kan met betrekking tot jonge kinderen verdeeld worden in twee thema’s: getalbegrip en ruimtelijk inzicht. Getalbegrip wordt vaak gezien als de noodzakelijke voorwaarde voor het leren rekenen. Het gaat hierbij om het gemak en de flexibiliteit waarmee kinderen omgaan met getallen. Kinderen ontwikkelen getalbegrip al vaak voordat ze naar school gaan door het contact met ouders, broertjes en zusjes. Anderen doen er wat langer over en leren het tijdens het formele rekenonderwijs. Kinderen ontwikkelen procedures voor het uitoefenen van taakjes en ze leren om te gaan met getallen. Ze kunnen getallen op verschillende manieren representeren en ze als referentiepunten gebruiken. Bovendien krijgen kinderen een gevoel voor grootte en kunnen ze steeds uitgebreider over relaties tussen getallen discussiëren (Gersten en Chard, 1999; Griffin, 2005). Wat vooral kenmerkend is voor getalbegrip, is het vermogen om aantallen met elkaar te vergelijken. Dit vermogen blijkt al heel vroeg ontwikkeld te zijn. Tegen het vijfde jaar hebben de meeste kinderen zich getalbegrip eigen gemaakt en wordt deze kennis nog aangevuld met inzicht in aantallen, ook wel cardinaliteit genoemd. Kinderen kunnen dan aangeven hoeveel een aantal is, doordat ze begrijpen dat het tellen van eenheden tot een resultaat komt dat voor het aantal staat.

Ruimtelijk inzicht wordt op school vaak minder expliciet benadrukt dan getalbegrip. Dit is jammer, want ruimtelijk inzicht is juist een noodzakelijke voorwaarde voor de voorspoedige ontwikkeling van getalbegrip (Rubinsten et al., 2002). Wat onder ruimtelijk inzicht wordt verstaan is het herkennen van patronen, figuren en vormen, en het inzicht in verhoudingen en relaties tussen objecten. Sophian (2000) heeft aangetoond dat jonge kinderen van vier en vijf jaar oud proportionaliteit al heel goed kunnen waarnemen. In dit onderzoek konden de kinderen de verhoudingen tussen objecten die op ruimtelijke proportionaliteit verschilden goed aangeven. Zo blijken hun inzichten toch gebaseerd te zijn op verhoudingen in plaats van op de vormen van de objecten.

De ontwikkelingen bij baby’s

Dat kinderen al heel vroeg blijk geven van rekentalent weten we uit veel onderzoek naar wiskundige vaardigheden bij baby’s, waarin is aangetoond dat kinderen al op zeer jonge leeftijd in staat zijn om onderscheid te maken tussen aantallen. Lipton en Spelke (2003) hebben bijvoorbeeld onderzoek gedaan naar de vraag of het vermogen van baby’s om aantallen te onderscheiden werkelijk gebaseerd is op getalsmatige eigenschappen van een verzameling en niet op de relatieve oppervlakte van de verzameling. Uit eerder onderzoek is gebleken dat baby’s van zes maanden onderscheid kunnen maken tussen twee verzamelingen die met een proportie van 2,0 (versus een proportie van 1,5) in aantal verschillen. Lipton en Spelke hebben aan deze resultaten bijgedragen door het visueel aanbieden van verzamelingen te vervangen door auditief aanbieden van verzamelingen. Baby’s van zes en negen maanden moesten dus onderscheid maken tussen twee verzamelingen van tonen. De baby’s van 6 maanden reageerden op het verschil tussen 16 en 8 tonen, maar niet op het verschil tussen 12 en 8 tonen (weer een proportie van 2,0 versus een proportie van 1,5). De baby’s van negen maanden reageerden wel bij beide proporties. De conclusie luidt dus dat het vermogen om onderscheid te maken tussen aantallen al zeer vroeg aanwezig is, dat het onafhankelijk is van de oppervlakte-eigenschappen van een verzameling, dat het duidelijk verbetert naar mate het kind zich ontwikkelt, en dat het al ontstaat voordat er sprake is van taal of symbolisch tellen.

Op het gebied van ruimtelijke ontwikkeling heeft onderzoek van Huttenlocher et al. (1994) aangetoond dat peuters van 16 tot 24 maanden in staat zijn om afstand te gebruiken om de locatie van voorwerpen in een zandbak te coderen. Het schatten van afstanden is tegen 16 maanden dus al goed ontwikkeld en bestaat onafhankelijk van mijlpalen in de omgeving of de positie van het kind. Dit is een belangrijke aanwijzing voor de vroege ontwikkeling van ruimtelijk inzicht bij jonge kinderen.

Jongens en meisjes

Vaak komt bij het wel of niet goed zijn in rekenen als eerste de vraag op of het om een meisje of een jongen gaat. Van jongens wordt immers aangenomen dat ze goed zijn in rekenen en van meisjes niet. Toch is dit niet helemaal waar. Uit onderzoek van Van den Heuvel-Panhuizen (2004) blijkt namelijk dat het verschil in prestaties tussen jongens en meisjes niet ligt de jongens- of meisjesachtige aard van de vraag, maar aan de wiskundige inhoud ervan. Meisjes scoorden beter op vragen die te maken hadden met accuratesse, op vragen die complexe teksten bevatten, die vroegen om strategiegebruik en standaardprocedures in plaats van abstracte en ingewikkelde berekeningen, en op vragen die te maken hadden met winkelsituaties. Jongens scoorden juist beter op vragen die te maken hadden met dagelijkse kennis, met grote getallen en verschillende meeteenheden, en op vragen die ruimte boden voor het spelen met strategieën en terugredeneringen. De kern van het verschil is dus het soort wiskunde dat gevraagd wordt en welk soort denken daarmee gepaard gaat. Meisjes denken anders en dit verschil zou op scholen erkend moeten worden, zodat meisjes niet om die reden achter hoeven te blijven in de ontwikkeling van rekenvaardigheden.

Rekenproblemen

Omdat jonge kinderen in ontwikkeling zijn, is het moeilijk om uitspraken te doen over het niveau van hun rekenvaardigheden. Toch kunnen kinderen, ondanks een normaal ontwikkelende intelligentie en goede schoolprestaties in andere vakken, serieuze problemen hebben met het aanleren van en het omgaan met getallen. Deze kinderen kunnen als dyscalculisch gediagnosticeerd worden. 

Er heerst veel onduidelijkheid over het begrip dyscalculie. Sommigen stellen dat het gaat om kinderen die een substantieel verschil laten zien tussen prestaties op het gebied van rekenen en prestaties op andere gebieden (Nelissen, 2003). Anderen stellen dat gelet moet worden op de continuïteit van de deficiënties (Mazzocco en Myers, 2003), omdat kinderen in ontwikkeling zijn en ook binnen de rekenvaardigheid van het ene op het andere moment een sprong kunnen maken. 

De genoemde percentages over de hoeveelheid kinderen met dyscalculie varieert tussen 1,6% en 6,5%. Dyscalculische kinderen kunnen moeilijk getallen op volgorde zetten, raken in de war bij getallen boven de twintig, hebben moeite met rekenen en met het onthouden van wat er in de klas gevraagd wordt of met wat ze aan het doen zijn. Dit komt allemaal neer op een deficiëntie in het getalbegrip. Onderzoek heeft uitgewezen dat ze het beste geholpen kunnen worden, door in de les juist de nadruk te leggen op getalbegrip en expliciet in te gaan op getalsmatige kennis (Kaufmann et al., 2001).

Beeldvormingtechnieken

Naast cognitieve gedragstaken biedt onderzoek binnen de neuropsychologie met behulp van beeldvormingstechnieken belangrijke kennis over de ontwikkeling van rekenvaardigheden. Onder beeldvormingstechnieken worden technieken verstaan die de hersenprocessen letterlijk in beeld brengen. Een voorbeeld hiervan is fMRI-onderzoek waarbij we, tijdens een bepaalde handeling van het brein, een plaatje van activiteit in de hersenen kunnen krijgen. Met EEG-onderzoek krijgen we geen beeld van de hersenen, maar een soort grafiek van hersensignalen die voortkomt uit de activiteit in het brein. 

Dehaene et al. (2003) heeft met fMRI-onderzoek aangetoond dat representaties van aantallen in drie delen van de pariëtale kwab (een specifiek gebied in de hersenen) voorkomen. Dat wil zeggen dat een gedeelte geactiveerd wordt bij het manipuleren van getallen en bij het opstellen van een denkbeeldige getallenlijn, dat een ander gedeelte geactiveerd wordt bij het manipuleren van aantallen in verbale vorm, en dat een derde gedeelte ondersteuning biedt aan aandacht en oriëntatie op de denkbeeldige getallenlijn.

Uit ander onderzoek van Dehaene et al. (1999) is gebleken dat ons wiskundig inzicht afhankelijk is van zowel taalvaardigheden als visuo-spatiële representaties. De onderzoekers hebben met hersenscans kunnen aantonen dat exacte wiskunde in een taalgevoelige vorm wordt aangeleerd, terwijl schattende wiskunde afhankelijk is van inzicht in getalgroottes en daarbij de visuo-spatiële gedeeltes van het brein activeert. Wiskundig inzicht zou volgens deze bevindingen dus voortkomen uit de wisselwerking tussen en de integratie van taalvaardigheid en visuo-spatiële representaties.

Temple en Posner (1998) hebben EEG-studies uitgevoerd waaruit blijkt dat vijfjarigen dezelfde breinmechanismen vertonen als volwassenen bij het beoordelen van groottes van getallen. Zowel kinderen als volwassenen gebruiken vergelijkbare mechanismen in de pariëtale kwab. Het verschil in leeftijd valt op doordat kinderen drie keer zo lang doen over het vergelijken van twee getallen dan volwassenen. Hieruit blijkt dat de processen bij kinderen en volwassenen wel degelijk gelijk zijn, maar dat het proces bij kinderen nog niet dusdanig geautomatiseerd is dat het even snel is als bij volwassenen. 

Het integreren van cognitieve met neuropsychologische kennis

Tot nu toe heb ik in dit artikel een overzicht gegeven van resultaten van verschillende soorten onderzoek naar de vraag hoe jonge kinderen leren rekenen. Het is belangrijk om resultaten te combineren, zodat zoveel mogelijk kennis kan worden opgedaan over de leermethodes van kinderen en hoe deze binnen de les gestimuleerd kunnen worden. Onderzoek heeft aangetoond dat kinderen al op zeer jonge leeftijd blijk geven van fundamenteel getalbegrip en ruimtelijk inzicht. Dit moet op school gekoesterd worden, zodat kinderen het plezier dat ze eraan beleven houden, succes kunnen hebben tijdens de rekenlessen en intrinsiek gemotiveerd blijven om door te leren. Uiteindelijk zou dit de kans moeten vergroten dat meer mensen rekenen leuk vinden, zodat ze doorgaan tot formeler wiskunde en ze later, temidden van anderen, vaker zullen verdedigen dat wiskunde een leuk vak is waar ze goed in zijn. Een goed begin is dus het halve werk.

Het MENS-promotieonderzoek dat in september 2005 in opdracht van het Freudenthal Instituut en het Helmholtz Instituut van start is gegaan, zal een unieke bijdrage kunnen leveren aan het onderzoek naar de ontwikkeling van rekenvaardigheden, omdat kennis van cognitief psychologische taken geïntegreerd wordt met kennis van neuropsychologisch onderzoek. Het eerste deel betreft kwalitatief onderzoek naar hoe kinderen van vier, vijf en zes jaar oud vragen binnen het thema getalbegrip en binnen het thema ruimtelijk inzicht oplossen. Er wordt een inventarisatie gemaakt van de verschillende soorten strategieën en van de aanpassingen en variaties die gedaan kunnen worden om kinderen tegemoet te komen of juist uit te dagen. 

Het tweede gedeelte van het onderzoek betreft een longitudinaal onderzoek dat begint met het groeperen van kinderen in de verschillende soorten strategieën die binnen eenn van de vragen in het eerste deel gevonden zijn. Tegelijkertijd zullen cognitieve vaardigheden als aandacht, taal en werkgeheugen worden gepeild om een vollediger beeld van het algemene denkvermogen van het kind te krijgen. Vervolgens zullen de kinderen meedoen met EEG-onderzoek waarbij de verschillende groepen van strategiegebruik met elkaar vergeleken worden.

Wat betreft de integratie van de twee domeinen zijn we zeer geïnteresseerd in hoe de neurologische substraten van de verschillende groepen met elkaar overeenkomen of verschillen, en hoe de resultaten van de gedragstaken met de resultaten van de neurologische taken vergelijken. Ook wordt het tweede gedeelte van het onderzoek over een en twee jaar herhaald om te kijken hoe strategiegebruik ontwikkelt en welke rol de eventuele ontwikkeling van rekenproblemen daarbij speelt. Verschillen de signalen van een kind dat op de vingers telt significant anders van de signalen van een kind dat aantallen onthoudt? Kunnen we de ontwikkeling van rekenproblemen voorspellen aan de hand van cognitieve prestaties en neurologische substraten die tot de strategieën behoren die we in het begin van het onderzoek vinden? Deze en soortgelijke vragen willen we binnen de komende vier jaar met het onderzoek beantwoorden.

Noten en/of literatuur

Dehaene, S., E. Spelke, P. Pinel, R. Stanescu en S. Tsivkin, ‘Sources of mathematical thinking: Behavioral and brain-imaging evidence’, in: Science, 284, 1999, pp. 970-974.

Dehaene, S., M. Piazza, P. Pinel en L. Cohen, ‘Three parietal circuits for number processing’, in: Cognitive Neuropsychology, 20, 2003, pp. 487-506.

Gersten, R. en D. Chard, ‘Number sense: rethinking arithmetic instruction for students with mathematical disabilities’, in: The Journal of Special Education, 44, 1999, pp. 18-28.

Griffin, S., ‘Fostering the development of whole-number sense: Teaching mathematics in the primary grades’, in: M. Donovan en J. Bransford (red.), How students learn: history, mathematics, and science in the classroom, Washington D.C., 2005, pp. 257-308.

Heuvel-Panhuizen, M. van den, ‘Girls’ and boys’ problems: Gender differences in solving problems in primary school mathematics in the Netherlands’, in: B. Clarke, D.M. Clarke, G. Emanuelsson et al. (red.), International Perspectives on Learning and Teaching Mathematics, Göteborg, 2004, pp. 237-252.

Huttenlocher, J., N. Newcombe en E. Sandberg, ‘The coding of spatial location in young children’, in: Cognitive Psychology, 27, 1994, pp. 115-147.

Kaufmann, L., P. Handl en P. Thony, ‘Evaluation of a numeracy intervention program focusing on basic numerical knowledge and conceptual knowledge: a pilot study’, in: Journal of Learning Disabilities, 36, 6, 2003, pp. 564-574.

Lipton, J. en E.S. Spelke, ‘Origins of number sense: large-number discrimination in human infants’, in: Psychological Science, 14, 2003, pp. 396-401.

Mazzocco, M. en G. Myers, ‘Complexities in identifying and defining mathematics learning disability in the primary school-age years’, in: Annals of Dyslexia, 53, 2003, pp. 218-253.

Nelissen, J., ‘Kinderen die niet leren rekenen: opvattingen en discussie over dyscalculie en rekenproblemen’, in: Willem Bartjens, 23, 3, 2003, pp. 5-11.

Rubinsten, O., A. Henik, A. Berger en S. Shahar-Shalev, ‘The development of internal representations of magnitude and their association with Arabic numerals’, in: Journal of Experimental Child Psychology, 81, 2002, pp. 74-92.

Sophian, C., ‘Perceptions of proportionality in young children: matching spatial ratios’, in: Cognition, 75, 2000, pp. 145-170.

Temple, E. en M.I. Posner, ‘Brain mechanisms of quantity are similar in 5-year-old children and adults’, in: Proceedings of the National Academy of Sciences, USA, 95, 1998, pp. 7836-7841.

Leave a Reply

Your email address will not be published.